报告题目： 具有临界Sobolev指数的分数阶PDEs
报告人: 谭忠 教授（博导、闽江学者特聘教授）
报告人单位： 厦门大学数学科学学院
报告日期： 2022年7月4日星期一
报告时间： 10：00准时开始
腾讯会议： 556-258-430
邀请人： 杨永富
欢迎广大师生积极参加！
报告摘要：这类问题有两个来源：一是理论来源，来自几何中的Yamabe问题，即：给定一个维数为n>3的紧致、无边Riemann 流形(M，g)，问是否存在保角度量G，使G的纯量曲率为常数。这个问题等价于求解具有临界Sobolev指数的椭圆偏微分方程。关于与时间有关的具有临界Sobolev指数的半线性热方程，1984年Ni,Weimin提出了解的结构的公开问题。在本报告中，我们汇报三方面的内容：
（1）回顾具有Sobolev 临界指数的半线性抛物方程的初边值问题。该问题由倪维明等于1984年提出，但提出后的近二十年进展甚微；倪维明、P.L.Lions和Y.Giga等著名数学家对次临界情形作了深入的研究，但对于临界情形只得到了一个无界但结构未知的L1整体解，但这个解的结构一直悬而未决。我们揭示了这个特殊的、无界的L1整体解，沿着某个时间子列趋于无穷时会产生集中现象，且与调和映射热流所表现的Bubble现象同出一辙。
（2）另一来源就是电阻抗断层成像技术。近年，我们考虑了具有临界非线性和在边界上具有动态条件的DtoN问题。过去三十年，国内外著名数学家 L. Caffarelli、谭晶刚等对DtoN算子进行了深入的研究，发现DtoN算子与分数阶算子等价，且可以用来解决分数阶Laplace算子的公开问题。 我们发现该问题等价于在边界上具有动态条件的DtoN算子热流问题。当具有临界非线性项时，我们利用该等价性和极值原理证明了DtoN算子热流问题解的存在性、爆破、渐近性和集中现象。
（3）我们在此基础上进行了进一步有意义的拓展。
报告人简介: 谭忠，厦门大学教授、博士生导师，闽江学者特聘教授，数字福建大数据基础技术厦门研究院院长，福建省科技创新领军人才、福建省教学名师、宝钢优秀教师奖和卢嘉锡优秀导师奖、全国百篇优秀博士学位论文指导教师。曾获国务院政府特殊津贴。主持国家自然科学基金重点项目和多项面上项目，完成学术论文240多篇。主持国家级一流本科课程《数学建模》和《偏微分方程》。自2003年以来指导大学生数学建模获2项全国“高教社杯”特等奖（2003年和2013年）和50多项全国一等奖；多次获福建省优秀教学成果一等奖和特等奖。